Cho a,b,c\(\in\left[0;2\right]\) và a + b + c = 3. CMR :
\(3\le a^2+b^2+c^2\le5\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
BL
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 2 2020
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a=max\left\{a;b;c\right\}\)
\(\Rightarrow3\le3a\Rightarrow a\ge1\Rightarrow1\le a\le2\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\le0\)
Ta có:
\(a^2+b^2+c^2\le a^2+\left(b+c\right)^2=a^2+\left(3-a\right)^2\)
\(=2a^2-6a+9=2\left(a^2-3a+2\right)+5=2\left(a-1\right)\left(a-2\right)+5\le5\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(2;1;0\right)\) và các hoán vị
6 tháng 2 2020
Từ \(a,b,c\in\left[0;2\right]\Rightarrow\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)-4\left(a+b+c\right)-abc+8\le0\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)-abc\le4\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\le4\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-a^2+b^2+c^2\le4\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le5\)
Xảy ra khi \(\text{a=2;b=1;c=0}\) và hoán vị
TL
3
30 tháng 7 2019
ko mất tính tổng quát, g/s \(0\le a\le b\le c\le2\)
Có: \(3c\ge a+b+c=3\)\(\Rightarrow\)\(1\le c\le2\)\(\Rightarrow\)\(\left(c-1\right)\left(c-2\right)\le0\)
\(a^2+b^2+c^2\le a^2+2ab+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+c^2=\left(3-c\right)^2+c^2\)
\(=2c^2-6c+9=2\left(c^2-3c+2\right)+5=2\left(c-1\right)\left(c-2\right)+5\le5\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=0;b=1;c=2\) và các hoán vị
T
5 tháng 9 2019
W.L.O.G: \(2\ge a\ge b\ge c\ge0\)
Ta có: \(LHS=\left(a-b\right)a+\left(b-c\right)\left(a+b\right)+c\left(a+b+c\right)\)
\(\le2\left(a-b\right)+3\left(b-c\right)+3c\)
\(=2.a+1.b=a+b+a\)
\(=3-c+a\le3-0+2=5=RHS\left(qed\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi (a;b;c) = (2;1;0) và các hoán vị ?!?
Ta có đpcm?!?
Is that true?
ML
11 tháng 8 2016
Bđt Bu-nhia-cop-xki \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\), đẳng thức xảy ra khi \(ay=bx\)
a.
\(\left(2x+3y\right)^2=\left(\sqrt{2}.\sqrt{2}x+\sqrt{3}.\sqrt{3}y\right)^2\le\left(2+3\right)\left(2x^2+3y^2\right)=5^2\)
\(\Rightarrow-5\le2x+3y\le5\)
b.
\(\sqrt{a+c}.\sqrt{b+c}+\sqrt{a-c}.\sqrt{b-c}\le\sqrt{a+c+a-c}.\sqrt{b+c+b-c}\)
\(=\sqrt{2a}.\sqrt{2b}=2\sqrt{ab}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{\sqrt{a+c}}{\sqrt{a-c}}=\frac{\sqrt{b+c}}{\sqrt{b-c}}\), hay \(a=b\)
Thử lại với a = b thì \(VT=2a=2\sqrt{ab}=VP>\sqrt{ab}\) nên đề đã ra sai vế phải của bđt.
c.
bđt \(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)
d.
bđt \(\Leftrightarrow\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2\le a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}\)
\(\Leftrightarrow ac+bd\le\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{c^2+d^2}\)
bđt trên luôn đúng vì theo bđt Bu-nhia-cop-xki, ta có:
\(\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge\sqrt{\left(ac+bd\right)^2}=\left|ac+bd\right|\ge ac+bd\)
3 tháng 4 2022
Bài 3:
\(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2\left(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\ge\dfrac{4}{xy}.x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2-2xy+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2+\left(x-y\right)^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2-2xy+\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}-x+y\right)^2=0\) (luôn đúng)
11 tháng 11 2018
Ta viết lại BĐT cần chứng minh như sau:
\(\frac{a^2+9}{2a^2+\left(3-a\right)^2}+\frac{b^2+9}{2b^2+\left(3-b\right)^2}+\frac{c^2+9}{2c^2+\left(3-c\right)^2}\le5\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+9}{3a^2-6a+9}+\frac{b^2+9}{3b^2-6b+9}+\frac{c^2+9}{3c^2-6c+9}\le5\)
Thật vậy ta sẽ chứng minh: \(\frac{a^2+9}{3a^2-6a+9}\le\frac{a+4}{3}\)
\(\Leftrightarrow.............................\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a+3\right)\ge0\) ( Luôn đúng với a > 0 )
Tương tự ta có: \(\frac{b^2+9}{3b^2-6b+9}\le\frac{b+4}{3}\)
\(\frac{c^2+9}{3c^2-6c+9}\le\frac{c+4}{3}\)
Cộng từng vế các BĐT trên ta có:
\(VT\le\frac{a+b+c+12}{3}=\frac{15}{3}=5\) \(\left(Q.E.D\right)\)
20 tháng 11 2021
\(a,\)\(A=\left\{x\in R|x< 3\right\}\Rightarrow A=\left(\text{ -∞;3}\right)\)
\(B=\left\{-1;0;1;2;3;4;5\right\}\)
\(\Rightarrow A\cap B=\left\{-1;0;1;2\right\}\)
\(b,x=-1\Rightarrow y=1-2\left(-1\right)+m=m+3\)
\(x=1\Rightarrow y=1-2+m=m-1\)
\(\Rightarrow C=(m-1;m+3]\subset A\)
\(\Rightarrow C\subset A\Leftrightarrow m+3< 3\Leftrightarrow m< 0\)
*)Chứng minh \(a^2+b^2+c^2\ge3\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)
Xảy ra khi \(a=b=c=1\)
*)Chứng minh \(a^2+b^2+c^2\le5\)
Từ \(a,b,c\in\left[0;2\right]\)\(\Rightarrow\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)-4\left(a+b+c\right)-abc+8\le0\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)-abc\le4\)\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\le4\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-a^2+b^2+c^2\le4\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le5\)
Xảy ra khi \(a=2;b=1;c=0\) và hoán vị
Cho mk hỏi abc = ? v bn